反向魅力
有很多关于“对立的魅力”的讨论，不仅在数学中。 请记住，相反的数字是那些仅在符号上不同的数字：加 7 和负 7。相反数字的总和为零。 但对我们（即数学家）来说，倒数更有趣。 如果数字的乘积等于 1，则这些数字互为倒数。 每个数字都有它的反面，每个非零数都有它的反面。 倒数的倒数就是种子。
反转发生在两个量相互关联的地方，因此如果一个量增加，另一个量会以相应的速率减少。 “相关”是指这些数量的乘积没有变化。 我们从学校记得：这是一个反比。 如果我想以两倍的速度到达目的地（即将时间减半），我需要将我的速度提高一倍。 如果一个装有气体的密封容器的体积减少 n 倍，那么它的压力将增加 n 倍。
在基础教育中，我们仔细区分差异比较和相对比较。 “还有多少”？ – “多少倍？”
以下是一些学校活动：
1工作。 在两个正值中，第一个比第二个大 5 倍，同时比第一个大 5 倍。 尺寸是多少？
2工作。 如果一个数比第二个大 3，第二个比第三个大 2，那么第一个数比第三个大多少？ 如果第一个正数是第二个正数的两倍，第一个正数是第三个正数的三倍，那么第一个数比第三个大多少倍？
3工作。 在任务 2 中，只允许使用自然数。 那里描述的这种安排可能吗？
4工作。 在两个正值中，第一个是第二个的 5 倍，第二个是第一个的 5 倍。 可能吗？
“平均”或“平均”的概念似乎很简单。 如果我周一骑行 55 公里，周二骑行 45 公里，周三骑行 80 公里，那么我平均每天骑行 60 公里。 我们完全同意这些计算，尽管它们有点奇怪，因为我一天没有开过 60 公里。 我们同样很容易接受一个人的份额：如果 33 人在六天内光顾一家餐厅，那么平均每天的访问量是 XNUMX 和三分之一。 嗯！
只有平均尺寸有问题。 我喜欢骑自行车。 因此，我利用了旅行社“让我们一起去吧”的优惠 - 他们将行李送到酒店，客户在那里骑自行车休闲。 星期五我开了四个小时的车：前两个小时的时速是 24 公里。 然后我感到非常疲倦，以至于接下来的两个每小时只有 16 次。 我的平均速度是多少？ 当然是（24+16）/2=20km=20km/h。
然而周六，行李寄存在酒店，我去参观了24公里外的城堡遗址，看到了，我就回来了。 我朝一个方向开了一个小时，然后以每小时 16 公里的速度缓慢返回。 我在酒店-城堡-酒店路线上的平均速度是多少？ 每小时20公里？ 当然不是。 毕竟，我总共开了 48 公里，花了我一个小时（“那里”）和一个半小时回来。 两个半小时48公里，即小时 48/2,5=192/10=19,2 公里！ 在这种情况下，平均速度不是算术平均值，而是给定值的谐波：
这个两层公式可以理解为：正数的调和平均数是它们倒数的算术平均数的倒数。 倒数之和的倒数出现在许多学校作业的合唱中：如果一个工人挖小时，另一个 - b 小时，然后，他们一起工作，按时挖。 水池（每小时一个，另一个在 b 小时）。 如果一个电阻器具有 R1 而另一个电阻器具有 R2，则它们具有并联电阻。
如果一台计算机可以在几秒钟内解决问题，另一台计算机可以在 b 秒内解决问题，那么当它们一起工作时……
停止！ 类比到此结束，因为一切都取决于网络的速度：连接的效率。 工人也可以互相阻碍或帮助。 如果一个人可以在八小时内挖一口井，八十个工人能在 1/10 小时（或 6 分钟）内完成吗？ 如果 6 名搬运工在 XNUMX 分钟内将钢琴送到一楼，那么其中一个搬运工需要多长时间才能将钢琴送到 XNUMX 楼？ 这些问题的荒谬性让人想起所有数学对“来自生活”的问题的有限适用性。
关于强大的卖家
秤不再使用。 回想一下，这种秤的一个碗上放了一个重物，另一个碗上放着被称重的货物，当重量达到平衡时，货物的重量就等于重量。 当然，重物的两臂必须等长，否则称量不准确。
啊对。 想象一个销售人员，他的权重不均等。 但是，他想对客户诚实，并分两批称量货物。 首先，他在一个平底锅上放一个重量，在另一个平底锅上放一个相应数量的货物——这样天平就平衡了。 然后他以相反的顺序称量货物的后“一半”，即他将重量放在第二个碗上，将货物放在第一个碗上。 由于手是不平等的，“一半”永远不会相等。 而且卖家良心清楚，买家称赞他的诚实：“我这里删了，我又加了。”
但是，让我们仔细看看尽管体重不稳定但仍想诚实的卖家的行为。 设天平的臂长为 a 和 b。 如果其中一个碗装 2 千克重量，另一个碗装 x 件货物，则如果第一次 ax = b 且第二次 bx = a，则秤处于平衡状态。 所以，货物的第一部分等于b/一公斤，第二部分是a/b。 好的重量有a=b，所以买家会收到0公斤的货物。 让我们看看当 a ≠ b 时会发生什么。 那么 a – b ≠ XNUMX 并且从简化的乘法公式我们有
我们得出了一个出乎意料的结果：在这种情况下，看似公平的“平均”测量方法对收到更多货物的买家有利。
任务5. （重要的是，绝不是数学！）。 一只蚊子重 2,5 毫克，一头大象重 XNUMX 吨（这是非常正确的数据）。 计算蚊子和大象质量（重量）的算术平均值、几何平均值和调和平均值。 检查计算，看看除了算术练习之外它们是否有意义。 让我们看看在“现实生活”中没有意义的其他数学计算示例。 提示：我们已经看过本文中的一个示例。 这是否意味着我在互联网上找到的一位匿名学生的意见是正确的：“数学用数字愚弄人”？
是的，我同意在宏伟的数学中，你可以“愚弄”人们——每隔一则洗发水广告都说它会增加一定百分比的蓬松度。 我们是否应该寻找可用于犯罪活动的有用日常工具的其他示例？
克！
这段话的标题是动词（第一人称复数）而不是名词（一公斤的千分之一的主格复数）。 和谐意味着秩序和音乐。 对于古希腊人来说，音乐是科学的一个分支——必须承认，如果我们这么说，我们就把“科学”这个词的当前含义转移到了我们这个时代之前的时代。 毕达哥拉斯生活在公元前 XNUMX 世纪，他不仅不知道电脑、手机和电子邮件，也不知道罗伯特·莱万多夫斯基、米什科一世、查理曼大帝和西塞罗是谁。 他不知道阿拉伯数字甚至罗马数字（它们在公元前 XNUMX 世纪左右开始使用），他不知道布匿战争是什么……但他知道音乐……
他知道在弦乐器上，振动系数与琴弦振动部分的长度成反比。 他知道，他知道，他只是无法像我们今天那样表达它。
组成一个八度音阶的两个弦振动的频率是1:2的比例，即高音的频率是低音的频率的两倍。 五度的正确振动比是 2:3，四度是 3:4，纯大三度是 4:5，小三度是 5:6。 这些是愉快的辅音音程。 然后是两个中性的，振动比为 6:7 和 7:8，然后是不和谐的 - 一个大音（8:9），一个小音（9:10）。 这些分数（比率）就像数学家（出于这个原因）称之为调和级数的序列的连续成员的比率：
理论上是无限和。 八度音阶的振荡比例可以写成2:4，并在它们之间加上五度音：2:3:4，也就是说，我们将把八度音阶分为五度和四度。 这在数学上叫做谐波段划分：
米。 1. 对于音乐家：将八度 AB 分成第五个 AC。对于数学家：谐波分割
当我（上面）谈到理论上无限的和时，例如谐波级数，我是什么意思？ 事实证明，这样的和可以是任意大的数，主要是我们加了很长时间。 成分越来越少，但成分越来越多。 什么占上风？ 在这里，我们进入了数学分析的领域。 事实证明，这些成分已经耗尽，但不是很快。 我将表明，通过服用足够的成分，我可以总结：
任意大。 让我们以“例如”n = 1024。我们将单词分组，如图所示：
在每个括号中，每个单词都大于前一个单词，当然最后一个单词除外，它等于自身。 在下面的括号中，我们有 2、4、8、16、32、64、128 和 512 个组件； 每个括号中的和的值大于 ½。 所有这些都超过 5½。 更准确的计算将显示该数量约为 7,50918。 不多，但总是如此，你可以看到，只要 n 大一点，我就可以胜过任何数字。 这个速度非常慢（例如，我们仅凭成分就排名前十），但无限增长一直让数学家着迷。
谐波系列的无限之旅
这是一些非常严肃的数学难题。 我们有无限数量的矩形块（我能说什么，矩形！），尺寸为 4 × 2 × 1。考虑一个由几个（在 无花果。 2 - 四）块，排列成第一个倾斜其长度的½，第二个从上方倾斜XNUMX/XNUMX，依此类推，第三个倾斜六分之一。 好吧，也许为了让它真正稳定，让我们把第一块砖稍微倾斜一点。 这对计算无关紧要。
米。 2.确定重心
也很容易理解，由于前两块组成的图形（从上往下数）有一个对称中心在 B 点，那么 B 就是重心。 让我们从几何上定义系统的重心，由三个上部块组成。 一个非常简单的论点就足够了。 让我们在心理上将三块组合分为两个上层和第三个下层。 该中心必须位于连接两个部分的重心的截面上。 在这一集的什么时候？
有两种指定方式。 在第一个中，我们将使用这个中心必须位于三块金字塔的中间的观察，即在与第二个中间块相交的直线上。 在第二种方式中，我们理解由于两个顶部块的总质量是单个块＃3（顶部）的两倍，因此该部分的重心必须是靠近 B 的两倍，因为它是到中心的两倍第三块的S。 类似地，我们找到下一个点：我们将找到的三个块的中心与第四个块的中心 S 连接起来。 整个系统的中心位于高度 2 处，并且位于将线段除以 1 到 3（即，除以其长度的 XNUMX/XNUMX）的点处。
我们将进一步进行的计算导致如图所示的结果。 赖斯。 五。 通过以下方式从下块的右边缘移除连续的重心：
因此，金字塔的重心投影总是在底部内。 塔不会倒塌。 现在让我们看看 无花果。 3 一会儿，让我们使用从顶部算起的第五个方块作为底座（标有较亮颜色的方块）。 顶部倾斜：
因此，它的左边缘比底的右边缘远1。 这是下一个摆动：
最大的波动是什么？ 我们已经知道了！ 没有最伟大的！ 即使是最小的积木，你也可以得到一公里的悬垂——不幸的是，仅在数学上：整个地球都不足以建造这么多积木！
米。 3.添加更多块
现在我们在上面留下的计算。 我们将在 x 轴上“水平地”计算所有距离，因为这就是它的全部内容。 A点（第一个块的重心）距离右边缘1/2。 B点（双块系统的中心）距离第二块的右边缘1/4。 让起点是第二个块的结束（现在我们将继续进行第三个）。 例如，单块#3 的重心在哪里？ 因此，这个块长度的一半是我们参考点的 1/2 + 1/4 = 3/4。 C点在哪里？ 在 3/4 和 1/4 之间的三分之二段中，即在前一点，我们将参考点更改为第三个块的右边缘。 三块系统的重心现在从新的参考点中移除，依此类推。 重心 Cn 由 n 个块组成的塔距瞬时参考点 1/2n，即基块的右边缘，即从顶部开始的第 n 个块。
由于倒数级数发散，我们可以得到任何大的变化。 这真的可以实施吗？ 它就像一座无边无际的砖塔——它迟早会在自身重量下倒塌。 在我们的方案中，块放置的最小误差（以及系列部分和的缓慢增加）意味着我们不会走得太远。
