密码和间谍

在今天的数学角，我将看一下我在国家儿童基金会的年度儿童科学营中讨论的一个话题。 该基金会正在寻找对科学感兴趣的儿童和青少年。 你不必非常有天赋，但你确实需要有“科学素养”。 不需要很好的学校成绩。 试试看，你可能会喜欢。 如果您是高年级小学生或高中生，请申请。 通常由家长或学校进行报告，但并非总是如此。 找到基金会的网站并找出答案。

学校里越来越多地谈论“编码”，指的是以前称为“编程”的活动。 这是理论教育工作者的常见程序。 他们挖掘旧方法，给他们一个新名字，“进步”是自己创造的。 有几个领域会发生这种周期性现象。

可以得出结论，我贬低了说教。 不。 在文明的发展过程中，我们有时会回到曾经、被遗弃和现在正在复苏的东西。 但我们的角落是数学的，而不是哲学的。

属于一个特定的社区也意味着“共同的符号”、共同的读物、谚语和寓言。 完美地学习了波兰语“Szczebrzeszyn 有一大片灌木丛，甲虫在芦苇丛中嗡嗡作响”的人如果不回答啄木鸟在做什么的问题，将立即被暴露为外国间谍。 他当然会窒息！

这不仅仅是一个玩笑。 1944 年 XNUMX 月，德军在阿登地区发动了最后一次进攻，付出了巨大的代价。 他们动员会说流利英语的士兵扰乱盟军的行动，例如在十字路口将他们引向错误的方向。 一阵惊讶之后，美国人开始向士兵们提出一些可疑的问题，这些问题的答案对于德克萨斯、内布拉斯加州或佐治亚州的人来说是显而易见的，而对于不是在那里长大的人来说是不可思议的。 对现实的无知直接导致了处决。

说到点子上。 我向读者推荐 Lukasz Badowski 和 Zaslaw Adamashek 合着的书“抽屉里的实验室 - 数学”。 这是一本精彩的书，它精彩地展示了数学确实对某些东西有用，“数学实验”不是空话。 除其他外，它还包括所描述的“硬纸板之谜”的构造 - 一种只需十五分钟即可创建的设备，其工作方式就像一台严肃的密码机。 这个想法本身非常有名，提到的作者把它完美地实现了，我会稍微改变一下，用更多的数学外衣包裹它。

钢锯

在我位于华沙郊区的别墅村的一条街道上，人行道最近从“trlinka”——六角形铺路石上拆除。 乘车很不舒服，但数学家的灵魂很高兴。 用规则的（即规则的）多边形覆盖平面并不容易。 只能是三角形、正方形和正六边形。

也许我对这种精神上的快乐有点开玩笑，但六边形是一个美丽的人物。 从它你可以制作一个相当成功的加密设备。 几何会有所帮助。 六边形具有旋转对称性 - 当旋转 60 度的倍数时，它会自行重叠。 例如，左上角标有字母 A 的字段 无花果。 1 转过这个角度后，它也会落入方框A——其他字母也一样。 所以让我们从网格中切出六个方块，每个方块都有一个不同的字母。 我们把这样得到的网格写在一张纸上。 在自由的六个字段中，输入我们要加密的文本的六个字母。 让我们将工作表旋转 60 度。 将出现六个新字段 - 输入我们消息的下六个字母。

米。 1. 数学之乐。

在右边 无花果。 1 我们有一个这样编码的文本：“车站有一辆巨大的重型蒸汽机车。”

现在一点学校数学会派上用场。 两个数的相对排列方式有多少种？

多么愚蠢的问题？ 对于两个：一个在前面或另一个。

美好的。 还有三个数字？

列出所有设置也不难：

123，132，213，231，312，321。

嗯，是四个人！ 它仍然可以清楚地拼写出来。 猜猜我放的顺序规则：

1234, 1243，14 4123，1324, 1342,

14 4132，2134, 2143，24 4

2314, 2341，24 4231，3124, 3142,

34 4312，3214, 3241，34 4321

当数字为 120 时，我们得到 XNUMX 种可能的设置。 让我们称呼他们 排列. n 个数的可能排列数是乘积 1 2 3 ... n，称为 强 并标有感叹号：3!=6, 4!=24, 5!=120。 对于下一个数字 6，我们有 6!=720。 我们将使用它来使我们的六边形密码盾更加复杂。

我们选择从 0 到 5 的数字排列，例如 351042。我们的六边形加扰盘在中间区域有一个破折号 - 这样它就可以放在“零位置” - 一个破折号，如图所示。 1、我们把盘子这样放在一张纸上，我们要在上面写我们的报告，但是我们不是马上写，而是把它转60圈180度（即60度），在里面输入六个字母空字段。 我们回到起始位置。 我们将表盘旋转 60 度五次，也就是旋转表盘的五个“齿”。 我们打印。 下一个刻度位置是围绕零旋转 0 度的位置。 第四个位置是XNUMX度，这是起始位置。

你明白发生了什么吗？ 我们还有一个额外的机会——将我们的“机器”复杂化七百多倍！ 所以，我们有两个独立的“自动机”位置——网格的选择和排列的选择。 可以以 66 = 46656 种方式选择网格，排列 720。这给出了 33592320 种可能性。 超过 33 万个密码！ 几乎少了一点，因为有些网格不能用纸剪下来。

在下部 无花果。 1 我们有一条这样编码的信息：“我要派你四个降落伞师。” 很容易理解，不应该让敌人知道这件事。 但他会明白这些吗：

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYLOAKVMDEYCHESH，

即使有签名351042？

我们正在建造德国密码机 Enigma

米。 2. 我们的加密机的初始设置示例。

排列 (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY)。

正如我已经提到的，我将创造这样一台纸板机的想法归功于“抽屉里的实验室 - 数学”一书。 我的“构造”与其作者给出的构造有些不同。

德国人在战争期间使用的密码机有一个巧妙简单的原理，有点类似于我们看到的十六进制密码。 每次都是同样的事情： 将一个字母硬分配给另一个字母. 它必须是可更换的。 怎么做才能控制它？

让我们不选择任何排列，而是选择一个循环长度为 2 的排列。简单地说，类似于几个月前此处描述的“Gaderipoluk”，但涵盖了字母表中的所有字母。 让我们就 24 个字母达成一致——没有 ą、ę、ć、ó、ń、ś、ó、ż、ź、v、q。 有多少这样的排列？ 这是高中毕业生的任务（他们应该可以马上解决）。 多少？ 很多？ 几千？ 是的：

1912098225024001185793365052108800000000（我们甚至不要尝试阅读这个数字）。 设置“零”位置有很多可能性。 这可能很困难。

我们的机器由两个圆盘组成。 其中一个仍然站立着，上面写着字母。 这有点像旧电话的拨号盘，你通过一直转动拨号盘来拨打一个号码。 Rotary是第二个带有配色方案的。 最简单的方法是使用别针将它们放在普通软木塞上。 您可以使用薄板或厚纸板代替软木塞。 Lukasz Badowski 和 Zasław Adamaszek 建议将两张光盘放入 CD 盒中。

想象一下，我们想对单词 ARMATY 进行编码（米。 2和3). 将设备设置为零位置（向上箭头）。 字母A对应F，将内部电路向右旋转一个字母。 我们要对字母 R 进行编码，现在它对应于 A。在下一次旋转之后，我们看到字母 M 对应于 U。下一次旋转（第四张图）给出了 A - P 的对应关系。在第五个转盘上我们有 T - A. 最后（第六圈）Y – Y 敌人可能不会猜到我们的 CFCFA 对他来说是危险的。 “我们的”将如何阅读派遣？ 他们必须有相同的机器，相同的“编程”，即具有相同的排列。 密码从位置零开始。 所以 F 的值为 A。顺时针转动刻度盘。 字母 A 现在与 R 相关联。他向右转动表盘，在字母 U 下找到 M，等等。密码员跑向将军：“将军，我正在报告，枪来了！”

米。 3.我们论文Enigma的运行原理。

米。 3.我们论文Enigma的运行原理。

即使是这样一个原始的 Enigma 的可能性也是惊人的。 我们可以选择其他输出排列。 我们可以——而且这里有更多的机会——不是定期使用一个“衬线”，而是按照某种每天变化的顺序，类似于六边形（例如，前三个字母，然后七个，然后八个，四个...... ..等等.)。

你怎么能猜到？！ 然而对于波兰数学家来说（玛丽安·雷夫斯基, 亨利克·齐加尔斯基, 杰日·鲁齐基) 发生了。 由此获得的信息非常宝贵。 以前，他们对我们的国防历史做出了同样重要的贡献。 瓦茨拉夫·谢尔宾斯基 i 斯坦尼斯拉夫·马祖尔凯维奇谁在 1920 年违反了俄罗斯军队的守则。 截获的电缆使毕苏斯基有机会从韦普斯河进行著名的机动。

我记得瓦斯拉夫·谢尔宾斯基（1882-1969）。 他似乎是一个不存在外部世界的数学家。 他不能谈论他在 1920 年的胜利，无论是出于军事原因还是……出于政治原因（波兰人民共和国当局不喜欢那些保卫我们免受苏联侵害的人）。

米。 4. 排列 (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT)。

米。 5. 装饰精美，但不适合加密。 太规律了。

1工作。 Na 无花果。 4 你有另一个排列来创建 Enigma。 将绘图复制到静电复印机。 造一辆车，编码你的名字和姓氏。 我的 CWONUE JTRYGT。 如果您需要将笔记保密，请使用 Cardboard Enigma。

2工作。 加密你看到的其中一辆“汽车”的名字和姓氏，但是（注意！）还有一个额外的复杂问题：我们不是向右转一个档位，而是根据方案 {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - 也就是说，首先是一个，然后是两个，然后是三个，然后是 2，然后是 1，然后是 2，等等，这样的“小波” . 确保我的名字和姓氏被加密为 CZTTAK SDBITH。 现在你明白恩尼格玛机的威力有多大了吧？

为高中毕业生解决问题。 Enigma 有多少个配置选项（在这个版本中，如文章中所述）？ 我们有 24 个字母。 我们选择第一对字母——这可以在

方法。 可以选择下一对

方式，更多

等等。 经过相应的计算（所有数字都必须相乘），我们得到

151476660579404160000

然后将该数字除以 12！ （12 阶乘），因为可以以不同的顺序获得相同的对。 所以最后我们得到“总”

刚刚超过 300 亿，这对于当今的超级计算机来说似乎并不是一个惊人的数字。 但是，如果考虑到排列本身的随机顺序，这个数字会显着增加。 我们还可以考虑其他类型的排列。

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