走进不真实的数学世界

在计算机科学学院的一次讲座和实践之后，我在其中一个环境中写了这篇文章。 我为自己辩护，反对批评这所学校的学生、他们的知识、对科学的态度，最重要的是：教学技能。 这……没人教他们。

为什么我这么防备？ 原因很简单——我所处的年龄可能还不了解我们周围的世界。 也许我是在教他们套马和卸马，而不是开车？ 也许我教他们用羽毛笔写字？ 虽然我对一个人有更好的看法，但我认为自己是“追随者”，但是……

直到最近，在高中时，他们还在谈论复数。 就在这个星期三，我回到家，放弃了——几乎没有学生知道它是什么以及如何使用这些数字。 有些人看待所有的数学就像一只鹅在彩绘的门前。 但当他们告诉我如何学习时，我也由衷地感到惊讶。 简而言之，一节课的每一小时就是两小时的作业：阅读教科书、学习如何解决给定主题的问题等。 以这种方式准备后，我们开始练习，在那里我们改进了一切......令人愉快的是，学生们显然认为坐在讲座中 - 通常是看着窗外 - 已经保证了知识进入头脑。

停止！ 够了。 我将描述我在与国家儿童基金会的研究员一起上课时收到的一个问题的答案，该机构支持来自全国各地的才华横溢的儿童。 问题（或者更确切地说是建议）是：

——你能告诉我们一些关于虚数的事情吗？

“当然，”我回答。 

数字的真实性

“朋友是另一个我，友谊是数字 220 和 284 的比值，”毕达哥拉斯说。 这里的重点是数字220的除数之和为284，数字284的除数之和为220：

1 +2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284。顺便说一下，我们注意到圣经中的雅各给了以扫 220 只绵羊和公羊作为友谊的标志（创世记 32:14 ）。

数字 220 和 284 之间另一个有趣的巧合是：2 个最高的素数是 3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、和 XNUMX。

它们的和是 2x220，平方和是 59x284。

第一的。 没有“实数”的概念。 这就像在读了一篇关于大象的文章后，你问，“现在我们要问非大象。” 有整体和非整体，有理性和非理性，但没有不真实。 具体来说： 不真实的数字不被称为无效。 数学中有许多类型的“数字”，并且它们彼此不同，例如 - 进行动物学比较 - 大象和蚯蚓。

其次，我们将执行您可能已经知道被禁止的操作：提取负数的平方根。 好吧，数学将克服这些障碍。 这有意义吗？ 在数学中，就像在任何其他科学中一样，一种理论能否永远进入知识宝库取决于……它的应用。 如果它没用，那么它最终会进入垃圾桶，然后进入知识史的一些垃圾。 没有我在本文末尾谈到的数字，就不可能发展数学。 但是，让我们从一些小事开始吧。 什么是实数，你知道的。 它们密集且没有间隙地填充数轴。 你也知道什么是自然数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - 他们都不适合记忆再伟大。 它们还有一个美丽的名字：自然。 它们有很多有趣的特性。 你觉得怎么样：

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“对自然数感兴趣是很自然的，”Karl Lindenholm 说，而 Leopold Kronecker (1823-1891) 简洁地说：“上帝创造了自然数——其他一切都是人的工作！” 分数（被数学家称为有理数）也有惊人的性质：

并在平等：

您可以从左侧开始，摩擦加号并用乘号替换它们 - 等式将保持正确：

等。

如您所知，对于分数 a/b，其中 a 和 b 是整数，并且 b ≠ 0，他们说 有理数. 但只有在波兰语中，他们才这样称呼自己。 他们会说英语、法语、德语和俄语。 有理数. 英文：有理数。 无理数 这是不合理的，不合理的。 我们也会用波兰语谈论非理性的理论、想法和行为——这是疯狂的、想象的、莫名其妙的。 都说女人怕老鼠——这不是很不理智吗？

在古代，数字有灵魂。 每一个都意味着某种东西，每一个都象征着某种东西，每一个都反映了宇宙和谐的一个粒子，即希腊语中的宇宙。 “宇宙”这个词的确切含义是“秩序，秩序”。 最重要的是六（完美数字）和十，即由其他数字组成的连续数字 1+2+3+4 的总和，其象征意义一直延续到今天。 所以毕达哥拉斯教导说，数字是一切的开始和来源，只有发现 无理数 毕达哥拉斯运动转向几何学。 我们知道学校的推理

√2 是一个无理数

因为假设有：并且这个分数不能减少。 特别是，p 和 q 都是奇数。 让我们平方：2q²=p². 数字 p 不能是奇数，因为那时 p² 也将是，等式的左边是 2 的倍数。因此，p 是偶数，即 p = 2r，因此 p²= 4r². 我们简化方程 2q²= 4r² 由 2. 我们得到 q²= 2r² 我们看到 q 也必须是偶数，我们假设不是这样。 由此产生的矛盾完成了证明 - 这个公式经常可以在每本数学书籍中找到。 这种间接证明是诡辩家最喜欢的把戏。

毕达哥拉斯学派无法理解这种浩瀚。 一切都必须能够用数字来描述，任何人都可以用棍子划过沙子的正方形的对角线没有长度，也就是可测量的长度。 “我们的信仰是徒劳的，”毕达哥拉斯学派似乎在说。 为何如此？ 这有点……不合理。 联盟试图通过宗派的方法来拯救自己。 任何敢于暴露自己存在的人 无理数，要被处死，而且，显然，第一句话是由主人自己执行的。

但是“这个想法毫发无损地过去了。” 黄金时代已经到来。 希腊人击败了波斯人（马拉松 490，479 座）。 民主得到加强，新的哲学思想中心和新学派出现了。 毕达哥拉斯学派仍在与无理数作斗争。 有人说：我们不会明白这个奥秘； 我们只能对 Uncharted 进行思考和惊叹。 后者更务实，不尊重神秘人。 那时，出现了两种心理结构，可以理解无理数。 我们今天对它们足够了解的事实属于欧多克索斯（公元前XNUMX世纪），直到XNUMX世纪末，德国数学家理查德·戴德金才按照严谨的要求对欧多克索斯的理论进行了适当的发展。数理逻辑。

大量的数字或酷刑

没有数字你能活吗？ 就算生活会怎样……我们也得去商店买鞋，用一根棍子，我们以前量过脚的长度。 “我要苹果，啊，给了！” – 我们会在市场上展示卖家。 “从 Modlin 到 Nowy Dwur Mazowiecki 有多远”？ “八九不离十！”

数字是用来衡量的。 在他们的帮助下，我们还表达了许多其他概念。 例如，地图的比例尺显示了该国面积减少了多少。 二比一的比例，或简称为 2，表示某物的大小已经增加了一倍。 让我们从数学上来说：每个同质性都对应一个数字——它的尺度。

任务. 我们制作了一份静电复印，将图像放大了几倍。 然后放大的片段再次放大b倍。 一般放大倍数是多少？ 答案：a × b 乘以 b。 这些尺度需要成倍增加。 “减一”数字 -1 对应于一个居中的精度，即旋转 180 度。 90度转弯对应的数字是多少？ 没有这样的数字。 它是，它是……或者更确切地说，它会很快。 你准备好接受道德折磨了吗？ 鼓起勇气，取负一的平方根。 我在听？ 你不能做什么？ 毕竟，我告诉过你要勇敢。 拉出！ 嘿，好吧，拉，拉...我来帮忙...这里：-1 现在我们有了它，让我们尝试使用它...当然，现在我们可以提取所有负数的根，因为例子 。：

√-4 = 2√-1, 🇧🇷-16 = 4√-1

“不管它带来的精神痛苦。” 这就是 Girolamo Cardano 在 1539 年写的，试图克服与 - 很快被称为 - 相关的精神困难 虚数. 他认为这些...

...任务. 把10分成两部分，乘积是40。我记得上一集他是这样写的：当然不可能。 然而，让我们这样做：将 10 分成两个相等的部分，每个部分等于 5。将它们相乘 - 结果是 25。从所得的 25，现在减去 40，如果你愿意，你会得到 -15。 现在看：√-15 加减 5 得到 40 的乘积。这些是数字 5-√-15 和 5 + √-15。 卡尔达诺对结果进行了如下验证：

“不管它带来多少心痛，将 5 + √-15 乘以 5-√-15。 我们得到 25 - (-15)，等于 25 + 15。所以，乘积是 40 .... 这真的很难。”

那么，多少是：（1 + √-1）（1-√-1）？ 让我们相乘。 请记住，√-1 × √-1 = -1。 伟大的。 现在有一个更困难的任务：从 a + b√-1 到 ab√-1。 发生了什么？ 当然，像这样： (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

这有什么有趣的？ 例如，我们可以分解我们“以前不知道”的表达式。 缩写乘法公式为²-b² 你还记得公式吗²+b² 不是，因为不可能。 在实数域中，多项式²+b² 这是不可避免的。 让我们用字母 i 表示“减一”的“我们的”平方根。²= -1。 这是一个“不真实”的素数。 这就是飞机90度转弯的描述。 为什么？ 毕竟，²= -1，并且将一个 90 度旋转和另一个 180 度旋转结合起来得到 45 度旋转。 描述的是什么类型的旋转？ 明显是XNUMX度转弯。 -i 是什么意思？ 这有点复杂：

（-一世）² = -i × (-i) = +i² = -1

所以 -i 也描述了一个 90 度的旋转，正好与 i 的旋转方向相反。 哪个是左哪个是右？ 你必须预约。 我们假设数字 i 指定了沿数学家认为为正的方向的旋转：逆时针。 数字 -i 描述了指针移动方向的旋转。

但是像 i 和 -i 这样的数字存在吗？ 是！ 我们只是让它们栩栩如生。 我在听？ 他们只存在于我们的脑海中？ 那么会发生什么？ 所有其他数字也只存在于我们的脑海中。 我们需要看看我们的新生儿数量是否能存活下来。 更准确地说，设计是否合乎逻辑以及它们是否对某些东西有用。 请相信我的话，一切都井井有条，这些新数字真的很有帮助。 像 3+i、5-7i 这样的数字，更一般地说：a+bi 称为复数。 我向你展示了如何通过旋转飞机来获得它们。 它们可以以不同的方式输入：作为平面上的点，作为一些多项式，作为某种数值数组......并且每次它们都是相同的：方程 x² +1=0 没有元素... hocus pocus 已经存在了！！！！ 让我们高兴和高兴！！！

游览结束

我们对假号码国家的第一次访问到此结束。 在其他神秘的数字中，我还将提到那些前面有无限个数字的数字，而不是后面的数字（它们被称为 10-adic，对我们来说 p-adic 更重要，其中 p 是质数），因为示例 X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

请让我们数X². 因为？ 如果我们计算一个数字的平方后跟无限个数字怎么办？ 好吧，让我们也这样做。 我们知道 x² = X。

让我们找到另一个这样的数字，前面有无限个数字，满足等式。 提示：以 76 结尾的数的平方也以 76 结尾。 以 376 结尾的数的平方也以 376 结尾。以 9376 结尾的数的平方也以 9376 结尾。以 XNUMX 结尾的数的平方也以 XNUMX 结尾。以 XNUMX 结尾的数的平方也以 XNUMX 结尾。 XNUMX 日… 还有一些数字非常小，即使是正数，它们仍然比任何其他正数都小。 它们是如此之小，以至于有时将它们平方以得到零就足够了。 有些数不满足条件 a × b = b × a。 还有无数个。 自然数有多少？ 无限多？ 是的，但是多少钱？ 这怎么能用数字表示呢？ 答案：无限数中最小的； 它标有漂亮的字母：A，并辅以零索引 A₀ ，阿列夫零。

还有一些我们不知道存在的数字……或者你可以随心所欲地相信或不相信。 说到类似：我希望你仍然喜欢 Unreal Numbers，Fantasy Species Numbers。