几何路径和灌木丛
在写这篇文章的时候，我想起了 Jan Pietrzak 的一首很老的歌，他在歌舞表演 Pod Egidą 进行讽刺活动之前唱过这首歌，波兰人民共和国承认它是一个安全阀。 人们可以诚实地嘲笑这个系统的悖论。 在这首歌中，作者建议社会主义政治参与，嘲讽那些想不政治的人，关掉报纸上的收音机。 “还是回学校读书比较好，”然后 XNUMX 岁的 Petshak 讽刺地唱道。
我要回学校读书了。 我正在重读（不是第一次）Shchepan Yelensky（1881-1949）的书“Lylavati”。 对于少数读者来说，这个词本身就说明了一些事情。 这是著名的印度数学家 Bhaskara（1114-1185）的女儿的名字，名叫 Akaria，或者是用这个名字命名他的代数书的圣人。 Lilavati 后来成为著名的数学家和哲学家。 根据其他消息来源，这本书是她自己写的。
Szczepan Yelensky 为他的数学著作（第一版，1926 年）赋予了相同的标题。 甚至可能很难将这本书称为数学著作——它更像是一组谜题，并且大部分是根据法语来源重写的（现代意义上的版权不存在）。 无论如何，多年来，它是唯一一本流行的波兰数学书籍——后来耶伦斯基的第二本书，毕达哥拉斯的糖果，被添加到其中。 所以对数学感兴趣的年轻人（我曾经就是这样）别无选择......
另一方面，“Lilavati”几乎要背熟……啊，有的时候……他们最大的优势就是我当时……还是个十几岁的孩子。 今天，从一个受过良好教育的数学家的角度来看，我以一种完全不同的方式看待 Lilavati——也许就像一个在通往 Shpiglasova Pshelench 的道路弯道上的登山者。 一个或另一个都不会失去其魅力...... Shchepan Yelensky 在他的个人生活中自称所谓的民族思想，他以其独特的风格在序言中写道：
不谈民族特色的描述，我要说的是，即使在九十年之后，叶连斯基关于数学的言论也没有失去意义。 数学教你思考。 这是事实。 我们能教你以不同的方式、更简单、更漂亮地思考吗？ 也许。 只是……我们还是做不到。 我向不想做数学的学生解释说，这也是对他们智力的考验。 如果你不能学习真正简单的数学理论，那么......也许你的心智能力比我们俩都差......？
沙中的迹象
这是“Lylavati”中的第一个故事——法国哲学家约瑟夫·德·梅斯特（Joseph de Maistre，1753-1821）描述的故事。
一艘失事船上的水手被海浪抛到空荡荡的海岸上，他认为那里无人居住。 突然，在海边的沙地上，他看到一个几何图形的痕迹出现在了某人的面前。 这时他才意识到，这个岛并没有荒芜！
叶连斯基引用德梅斯特里的话写道： 几何图形对于不幸、遭遇海难、巧合的人来说，这本来是一个沉默的表情，但他一眼就让他看到了比例和数量，这预示着一个开明的人。 历史就这么多了。
请注意，水手会引起相同的反应，例如，通过绘制字母 K、...以及任何其他人的存在痕迹。 这里几何是理想化的。
然而，天文学家 Camille Flammarion (1847-1925) 提出，文明使用几何从远处相互问候。 他认为这是唯一正确和可能的交流尝试。 让我们向这些火星人展示毕达哥拉斯三角形......他们会用泰勒斯回答我们，我们会用维埃塔模式回答他们，他们的圆圈将适合三角形，所以友谊开始了......
儒勒·凡尔纳 (Jules Verne) 和斯坦尼斯拉夫·莱姆 (Stanislav Lem) 等作家回归了这个想法。 而在 1972 年，带有几何（且不仅仅是）图案的瓷砖被放置在 Pioneer 探测器上，该探测器仍然跨越广阔的太空，现在距我们近 140 个天文单位（1 I 是地球与地球的平均距离） . 太阳，即约 149 亿公里）。 这块瓷砖部分是由天文学家弗兰克德雷克设计的，他是关于外星文明数量的有争议规则的创造者。
几何是惊人的。 我们都知道关于这门科学起源的一般观点。 我们（我们人类）刚刚开始为最实用的目的测量土地（以及后来的土地）。 确定距离、绘制直线、标记直角和计算体积逐渐成为必需品。 因此整个事情 几何 （“地球的测量”），因此所有的数学......
然而，一段时间以来，科学史的这幅清晰画面使我们蒙上了阴影。 因为如果仅出于操作目的需要数学，我们就不会参与证明简单的定理。 “你看这应该是真的，”在检查了几个直角三角形后，有人会说，斜边的平方和等于斜边的平方。 为什么会有这种形式主义？
梅子馅饼要好吃，电脑程序要工作，机器要工作。 如果我数了三十次桶的容量，一切都井井有条，那为什么还要呢？
与此同时，古希腊人想到需要找到一些正式的证据。
因此，数学始于泰勒斯（公元前 625-547 年）。 假设是米利都开始想知道为什么。 对于聪明的人来说，他们已经看到了一些东西，他们对某些东西深信不疑是不够的。 他们看到了证明的必要性，即从假设到论文的逻辑论证序列。
他们还想要更多。 可能是泰勒斯首先试图以自然主义的方式解释物理现象，而无需上帝的干预。 欧洲哲学始于自然哲学——物理学背后已经存在的东西（因此得名：形而上学）。 但是欧洲本体论和自然哲学的基础是由毕达哥拉斯学派奠定的（毕达哥拉斯，c. 580-c. 500 BC）。
他在亚平宁半岛南部的克罗托内创立了自己的学校——今天我们称之为教派。 科学（就目前的意义而言）、神秘主义、宗教和幻想都紧密相连。 Thomas Mann 在小说《浮士德博士》中非常精美地介绍了德国体育馆的数学课程。 这段片段由 Maria Kuretskaya 和 Witold Virpsha 翻译，内容如下：
在查尔斯·范·多伦（Charles van Doren）的有趣的书《从历史的黎明到现代的知识史》中，我发现了一个非常有趣的观点。 在其中一章中，作者描述了毕达哥拉斯学派的重要性。 这一章的标题让我印象深刻。 上面写着：“数学的发明：毕达哥拉斯学派”。
我们经常讨论数学理论是否正在被发现（例如未知的土地）或发明（例如以前不存在的机器）。 一些富有创造力的数学家将自己视为研究人员，其他人则将自己视为发明家或设计师，很少会反击。
但是这本书的作者写的是一般的数学发明。
从夸张到妄想
在这个冗长的介绍部分之后，我将继续开始。 几何描述过度依赖几何会如何误导科学家。 约翰内斯·开普勒在物理学和天文学中被称为天体运动三大定律的发现者。 首先，太阳系中的每颗行星都以椭圆轨道围绕太阳运行，太阳位于其焦点之一。 其次，从太阳引出的行星的主要光线每隔一定时间会绘制相等的场。 第三，行星绕太阳公转周期的平方与其轨道半长轴的立方（即与太阳的平均距离）之比对于太阳系中的所有行星都是恒定的。
也许这是第三定律——它需要大量的数据和计算来建立它，这促使开普勒继续寻找行星运动和位置的模式。 他的新“发现”的历史很有启发意义。 自古以来，我们不仅欣赏正多面体，还欣赏表明太空中只有五个多面体的论点。 如果一个三维多面体的面是相同的正多边形并且每个顶点具有相同数量的边，则它被称为正多面体。 举例来说，正多面体的每个角必须“看起来相同”。 最著名的多面体是立方体。 每个人都见过普通的脚踝。
正四面体鲜为人知，在学校里它被称为正三角锥。 它看起来像一个金字塔。 其余三个正多面体鲜为人知。 当我们连接立方体边缘的中心时，就会形成一个八面体。 十二面体和二十面体已经看起来像球了。 它们由柔软的皮革制成，挖起来很舒服。 除了五个柏拉图立体之外没有正多面体的论点非常好。 首先，我们意识到如果物体是规则的，那么相同数量（令 q）的相同正多边形必须在每个顶点处收敛，设这些为 p 角。 现在我们需要记住正多边形中的角度是多少。 如果有人不记得上学时，我们会提醒您如何找到正确的模式。 我们在拐角处进行了一次旅行。 在每个顶点，我们转过相同的角度 a。 当我们绕多边形返回起点时，我们做了 p 个这样的转弯，总共转了 360 度。
但是 α 是我们要计算的角度的 180 度补码，因此是
我们已经找到了正多边形的角度公式（数学家会说：角度的量度）。 让我们检查一下：在三角形 p = 3 中，没有 a
像这样。 当 p = 4（平方）时，则
度也不错。
五边形我们能得到什么？ 那么当有 q 个多边形时会发生什么，每个 p 具有相同的角度
在一个顶点下降的度数？ 如果它在一个平面上，那么就会形成一个角
度并且不能超过 360 度 - 因为这样多边形就会重叠。
但是，由于这些多边形在空间中相遇，因此角度必须小于全角。
这就是所有的不等式：
将它除以 180，将两个部分都乘以 p，顺序 (p-2) (q-2) < 4。接下来是什么？ 让我们知道 p 和 q 必须是自然数，并且 p > 2（为什么？p 是什么？）还有 q > 2。没有很多方法可以使两个自然数的乘积小于 4。我们'将它们全部列出。在表 1 中。
我不发图，大家可以在网上看到这些图……在网上……我不会拒绝一句抒情的题外话——也许对小读者来说很有趣。 1970 年，我在一次研讨会上发言。 这个话题很难。 我几乎没有时间准备，我在晚上坐着。 主要文章是只读的。 这个地方很舒适，有工作氛围，嗯，七点关门。 然后新娘（现在是我的妻子）亲自提出要为我重写整篇文章：打印了大约十二页。 我抄了（不，不是用鹅毛笔，我们甚至有钢笔），讲座很成功。 今天我试图找到这本已经很旧的出版物。 只记得作者的名字……网上搜了很久……整整十五分钟。 我带着假笑和一点不合理的遗憾想到它。
我们回到 开普勒我几何. 显然，柏拉图预言了第五规则形式的存在，因为他缺乏统一的东西，覆盖整个世界。 也许这就是他指示一个学生（Theajtet）寻找她的原因。 事实上，正是在此基础上发现了十二面体。 我们称这种态度为柏拉图泛神论。 包括牛顿在内的所有科学家都或多或少地屈服于它。 自高度理性的 XNUMX 世纪以来，它的影响力急剧下降，尽管我们不应该为我们都以某种方式屈服于它而感到羞耻。
在开普勒建造太阳系的概念中，一切都是正确的，实验数据与理论不谋而合，理论在逻辑上是连贯的，非常漂亮……但完全是错误的。 在他那个时代，只有六颗行星是已知的：水星、金星、地球、火星、木星和土星。 为什么只有六颗行星？ 开普勒问道。 什么规律决定了它们与太阳的距离？ 他假设一切都是相互关联的，即 几何学和宇宙学 彼此密切相关。 从古希腊人的著作中，他知道正多面体只有五个。 他看到六个轨道之间有五个虚空。 那么也许这些自由空间中的每一个都对应于一些正多面体？
经过几年的观察和理论工作，他创造了以下理论，借助该理论，他相当准确地计算了轨道的尺寸，并在 1596 年出版的《宇宙之谜》一书中提出了这一理论：想象一个巨大的球体，它的直径是水星绕太阳每年运动的轨道的直径。 然后想象在这个球面上有一个正八面体，上面有一个球体，上面有一个二十面体，上面还有一个球体，上面有一个十二面体，上面有另一个球体，上面有一个四面体，然后又是一个球体，一个立方体最后，在这个立方体上描述了球。
开普勒得出结论，这些连续球体的直径是其他行星轨道的直径：水星、金星、地球、火星、木星和土星。 这个理论似乎非常准确。 不幸的是，这与实验数据相吻合。 还有什么比它与实验数据或观测数据，尤其是“取自天上”的数据的对应更能证明数学理论的正确性呢？ 我在表 2 中总结了这些计算。那么开普勒做了什么？ 我试了又试，直到它成功，也就是说，当配置（球体的顺序）和由此产生的计算与观测数据一致时。 以下是现代开普勒数据和计算：
人们可以屈服于理论的魅力，相信天空中的测量是不准确的，而不是在寂静的车间里进行的计算。 不幸的是，今天我们知道至少有九颗行星，所有结果的巧合都只是巧合。 可惜。 它是如此美丽...
